期末专题 判断反常积分的敛散性

直接判别法

没有 ln 视为 β 等于 0,仍然发散

x 增长速度更快，先看 x 再看 lnx

如何理解?

上下限有一个含无穷，如果要收敛，则你希望原函数分母值更大，分母次数应该更大，x 趋于无穷则原函数趋于 0

上下限有一个为 0 实际上同理，你应该希望原函数 0 出现在分子，分母次数应该更小，注意 1 次都是发散的

比较判别法

放缩法

比如 A，可以进行放缩

等价(同阶)法

此方法配合”抓大头”同样适用，分母可以取”大头”2x

注意 x 趋于无穷或者 0 的时候，”大头”是不同的

总结和例题

审敛法，不一定要计算出定积分或反常积分的值，可以观察原函数的特点，运用放缩，等价等等方法，让函数形状与直接判别法的形状相似.

来个例题，这里答案应该是收敛

反常积分上下限都是瑕点，我们必须把它们拆成两个积分

而拆成两个积分以后，抓大放小所得的积分是不同的，对于 0 应该等价于 1/(x 的 1/2 次方)，对于正无穷应该是 1/

(x 的 3/2 次方)

正无穷时我们希望分母次数更大，它确实大于 1，为收敛

0 时我们希望分母次数更小，它确实小于 1，也为收敛

故原反常积分收敛